Sean $\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right], \left [\begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right], \left [ \begin{matrix} \zeta_i \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^n ,$ y $\lambda , \mu \ \in \mathbb{R}$
$\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right] + \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]$
$\left( \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right]\right) + \left [ \begin{matrix} \zeta_i \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \left(\left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right] + \left [ \begin{matrix} \zeta_i \end{matrix} \right]\right)$
$\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + 0 = \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] ;\ $ con $0$ el vector que tiene todas sus entradas nulas.
Para todo $\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] \in \mathbb{R}^n$ existe un vector, denotado por $ -\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right],$ tal que $\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]+\left(-\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]\right) = 0 $
$ 1 \cdot \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]$
$ \lambda \left( \mu \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]\right) = \left(\lambda \mu\right) \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right]$
$ \left(\lambda + \mu\right) \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] = \lambda \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \mu\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] $
$ \lambda \left(\left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right]\right) = \lambda \left [ \begin{matrix} \xi_i \end{matrix} \right] + \lambda \left [ \begin{matrix} \eta_i \end{matrix} \right] $
La demostración de estas propiedades queda como ejercicio.