Propiedades de la Norma Euclideana

Sean $x,y$ $\in$ $\mathbb{R}^n $

  1. $\Vert \alpha x \Vert = \vert \alpha \vert \cdot \Vert x \Vert$
  2. $ \Vert x-y \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2 - 2x \cdot y $
  3. Teorema de Pitágoras $$ x \cdot y = 0 \Leftrightarrow \Vert x - y \Vert ^2 = \Vert x + y \Vert ^2 = \Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2$$

Demostración: Sean $x, y \in \mathbb{R}^n$ y $\alpha \in \mathbb{R}$

  1. $$ \Vert \alpha x \Vert ^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \alpha \xi_i \right)^2 = \alpha ^2 \cdot \sum_{i=1}^n \xi_i^2 $$ $$ \therefore \Vert \alpha x \Vert = \vert \alpha \vert \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {\xi_i}^2} = \vert\alpha \vert \cdot \Vert x \Vert \blacksquare $$
  2. $$ \Vert x-y \Vert ^2 = \sum_{i=1}^n (\xi_i - \eta_i)^2 = \sum_{i=1}^n \xi_i ^2 - \sum_{i=1}^n 2 \xi_i \eta_i + \sum_{i=1}^n \eta_i ^2 $$ $$ = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2 - 2 \sum_{i=1}^n \xi_i \eta_i = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2 - 2x \cdot y \blacksquare $$
  3. Por el resultado (2) $$ x\cdot y = 0 \Leftrightarrow \Vert x - y \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert^2$$ De manera análoga se puede ver que $$ x\cdot y = 0 \Leftrightarrow \Vert x + y \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2 \blacksquare$$

Ejercicio

  1. $\Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x =0$

donde al escribir $x=0$ estamos pensando en $$x=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$